La entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada La recta de Euler estaba dedicada al resultado geométrico conocido como el teorema de la línea de Euler, que dice que tres de los puntos notables asociados a un triángulo cualquiera, el orto centro, el circun centro y el bari centro, se encuentran en una misma línea, que se conoce con el nombre de línea de Euler.Además, al final de la entrada se comentaba que, junto al orto centro, el circun centro y el baricentro de un triángulo, existen otros puntos definidos con relación al triángulo que también están en la recta de Euler, uno de ellos era el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

La entrada de hoy la vamos a dedicar precisamente a esta figura geométrica, la circunferencia de los nueve puntos.

La línea de Euler

Antes de nada, vamos a recordar brevemente el teorema de la línea de Euler que, aunque no se necesita para explicar qué es la circunferencia de los nueve puntos, sí está relacionado con ella, como se ha comentado.

Dado un triángulo cualquiera, los tres puntos notables asociados al triángulo que se mencionan en el teorema de la línea de Euler son el orto centro, el circun centro y el bari centro. El orto centro es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (o las rectas que las extienden), el circun centro es el punto de intersección de las tres mediatrices (la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio) de los lados del triángulo y el baricentro es el punto de intersección de las tres medianas (una mediana de un triángulo es el segmento de recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto) del triángulo.

Esos tres puntos del plano podrían no estar alineados, como ocurre en general para tres puntos cualesquiera, sin embargo, estos tres puntos sí van a estar sobre una misma línea recta, como afirma este teorema.

Teorema de la línea de Euler: Dado un triángulo cualquiera ABC, el orto centro O, el circun centro CC y el baricentro BC son co lineales (a la recta que incluye a los tres puntos se la denomina línea de Euler). Además, la distancia del ortocentro O al baricentro BC es igual a dos veces la distancia del baricentro BC al circun centro CC.

El orto centro O, el circun centro CC y el baricentro BC de un triángulo ABC están alineados y la recta que los contiene es la línea de Euler

El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más prolífico de todos los tiempos, incluía este resultado en su artículo titulado Soluciones fáciles para algunos problemas geométricos difíciles y, que fue publicado en la revista Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae en 1767,

La circunferencia de los nueve puntos

Dado un triángulo cualquiera, vamos a considerar tres grupos de tres puntos, luego nueve puntos en total, definidos geométricamente en relación con el triángulo.

El primer grupo de tres puntos consiste en los pies de las tres alturas del triángulo.

Por ejemplo, tenemos un triángulo ABC cualquiera. Desde el vértice A se traza la recta que pasa por A y corta perpendicularmente al lado opuesto del triángulo (o a la recta que lo contiene), el lado BC, que es la altura del triángulo ABC desde el vértice A y se denota A’ al punto de corte, que es el pie de esa altura.

Desde el punto B se traza la correspondiente altura, es decir, la recta que corta perpendicularmente al lado opuesto AC y se considera el punto de corte, B’, el pie de esta altura.

Y desde C se traza también la altura y se denota por C’ el pie de la misma.

Un triángulo ABC cualquiera, sus alturas y los pies de las mismas A’, B’ y C’

Ya tenemos el primer grupo de tres puntos, los pies de las tres alturas.

Para considerar el siguiente grupo de tres puntos, vamos a tomar la intersección de las tres alturas (o de las rectas que las contienen), el orto centro. Entonces, los puntos que nos interesan son los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el orto centro, que se denominan puntos de Euler.

Si consideramos el triángulo ABC anterior, O es el orto centro, los puntos de Euler son A’’, B’’ y C’’, que son los puntos medios de los segmentos OA’, OB’ y OC’.

Un triángulo ABC cualquiera, los pies de las alturas A’, B’ y C’, el orto centro O y los puntos de Euler A’’, B’’ y C’’, que son los puntos medios de los segmentos OA’, OB’ y OC’

El siguiente grupo de tres puntos son los puntos medios de los lados del triángulo. Si volvemos al triángulo ABC, el punto medio del segmento AB es C’’’, el punto medio del segmento BC es A’’’ y el punto medio del segmento CA es B’’’.

Nueve puntos destacados de un triángulo ABC: los pies de las alturas A’, B’ y C’, los puntos de Euler A’’, B’’ y C’’, y los puntos medios de los lados del triángulo A’’’, B’’’ y C’’’

Ya están establecidos los tres grupos de tres puntos asociados a un triángulo y que aparecen en el teorema de la circunferencia de los nueve puntos, que enunciamos a continuación.

Teorema de la circunferencia de los nueve puntos: Dado un triángulo cualquiera ABC, los pies de las alturas del triángulo, los puntos de Euler y los puntos medios de los lados del triángulo están en una misma circunferencia, conocida como circunferencia de los nueve puntos.

os nueve puntos destacados del triángulo ABC, los pies de las alturas A’, B’ y C’, los puntos de Euler A’’, B’’ y C’’, y los puntos medios de los lados del triángulo A’’’, B’’’ y C’’’, están en una misma circunferencia

La circunferencia de Feuerbach

Uno de los muchos nombres que recibe la circunferencia de los nueve puntos es circunferencia de Euler, puesto que según algunos autores ya era conocida por el matemático suizo, entre otros Heinrich Dorrie, autor del interesante libro 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions.

Sin embargo, como explica el matemático John Sturgeon Mackay (1843-1904) en su artículo Historia de la circunferencia de los nueve puntos, no hay ninguna referencia a esta circunferencia en las obras de Euler:

El primer autor al que se ha atribuido el descubrimiento del círculo de nueve puntos es Euler, pero nadie ha dado nunca una referencia a ningún pasaje de los trabajos de Euler en el que se afirme, o se implique, la propiedad característica de esta circunferencia.

La atribución a Euler es simplemente un error, y el origen del error puede, creo, explicarse.

Según Mackay, el error viene de un texto del matemático Eugéne Charles Catalan (1814-1894), el libro Théorémes et Problémes Géométrie élémentaire, que en sus quinta y sexta ediciones atribuye el resultado a Euler, al malinterpretar dos artículos del matemático francés Olry Terquem (1782-1862) que tienen prácticamente el mismo título, lo que provoca la confusión.

El primero titulado Consideraciones sobre el triángulo rectilíneo, según Euler (1842) y el segundo con el mismo título, salvo la expresión "según Euler", y publicados además en el mismo número de la misma revista.

Mientras que en el primero se recogían resultados de Euler, el segundo se dedicaba a resultados desarrollados por el propio Terquem y empezaba con el teorema de la circunferencia de los nueve puntos.

La primera vez que se menciona explícitamente la circunferencia de los nueve puntos es en un artículo publicado por el matemático, químico y militar francés Charles Julien Brianchon (1783-1864) y el matemático e ingeniero francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867), Un año después, el matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) demostró la existencia de esta circunferencia, pero mencionando que pasa por seis puntos, los puntos medios de los lados del triángulo y los pies de las alturas (por este motivo en ocasiones se llama circunferencia de los seis puntos), en su pequeño libro Propiedades de algunos puntos peculiares del triángulo rectilíneo y de varias rectas y figuras determinadas por ellos (1822).

Así mismo, demostró un resultado relacionado con esta circunferencia, que se conoce como teorema de Feuerbach y que presentamos más adelante.

De manera que a la circunferencia de los nueve puntos se la suele conocer como circunferencia de Feuerbach, que es un nombre que se utiliza frecuentemente, y a su centro como centro de Feuerbach.

Además, el centro de Feuerbach, o centro de la circunferencia de los nueve puntos, se encuentra sobre la recta de Euler, que se presentó en la anterior entrada La recta de Euler.

El teorema de Feuerbach

Por lo tanto, dado un triángulo cualquiera la circunferencia que pasa por los pies de las alturas, por los puntos de Euler y por los puntos medios de los lados recibe muchos nombres, desde circunferencia de Euler, que resulta ser confuso e incorrecto, hasta el más habitual, circunferencia de los nueve puntos, pasando por circunferencia de los seis puntos y circunferencia de Feuerbach.

La existencia de la circunferencia de los seis puntos no fue lo único que demostró el matemático alemán, también probó, entre otros resultados relacionados con esta circunferencia, el conocido teorema de Feuerbach, que enunciamos a continuación.

Teorema de Feuerbach: Dado un triángulo cualquiera ABC, la circunferencia de los seis puntos es tangente a las circunferencias inscrita y ex inscritas del triángulo.

dado un triángulo cualquiera ABC, la circunferencia de los seis puntos es tangente a las circunferencias inscrita (azul claro) y ex inscritas al triángulo

Como escribe el matemático estadounidense Howard H. Eves (1911-2004) en su clásico

Círculos matemáticos (2003), "Los geómetras consideran universalmente que el llamado teorema de Feuerbach es sin duda uno de los teoremas más bellos de la geometría moderna del triángulo". De hecho, después de Feuerbach muchos otros matemáticos demostraron este resultado o generalizaciones del mismo.

Por ejemplo, el matemático británico Thomas S. Davies (1795-1851) en su artículo Symmetrical properties of plane triangles (1827), que ya añadía los puntos de Euler a los seis considerados por Feuerbach, el matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863), que publicó algunos resultados generalizando el teorema de la circunferencia de los nueve puntos en el artículo Developpement dune serie de theoremes relatifs aux sections coniques (1828) y en el libro Die geometrischen Constructionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises (1833), en el cual demostraba que la circunferencia de los nueve puntos pasaba por tres puntos notables más, doce en total (motivo por el cual esta circunferencia se conoce también con el nombre de circunferencia de los doce puntos) o el matemático francés Olry Terquem, que es quien le pone nombre a la circunferencia, llamándola "circunferencia de los nueve puntos", en su artículo de 1842, en el que da una nueva demostración analítica del teorema de Feuerbach.

NO SE DEBE SER DÉBIL,SI SE QUIERE SER LIBRE