¿Sabías que algunas de estas paradojas matemáticas han supuesto verdaderos quebraderos de cabeza para los matemáticos? Descúbrelas aquí.

Entre todas esas cifras árabes y letras raras… ¡es normal que nos perdamos!

Las matemáticas son el común denominador (en términos de aritmética básica) de los cursos escolares.

Dicho esto, seguramente hayas sentido envidia por alguno de esos genios para los que las ciencias no son más que un juego.

Para saber todo sobre las matemáticas, intentemos seguir sus pasos, descubrir las paradojas matemáticas y viajar por el mundo de la aritmética, la trigonometría y la probabilidad.

Verás cómo te van ganando poco a poco y, en poco tiempo, tú mism@ podrás aplicarlas en tus clases de matemáticas.

No hace falta salir de un centro de investigación o ser un estudiante de matrícula para entender en qué consiste una paradoja. El término «paradoja» designa un «hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica» (DRAE).

En el estudio de estos fenómenos radica la esencia de las matemáticas.

Resulta evidente que las ciencias físicas esconden en sus anales muchas sorpresas que se podrían resolver respondiendo a esta definición.

No obstante, todos los profesores (y todos los alumnos) saben que hay unas paradojas más conocidas que otras, pero también más interesantes… o más útiles.

Algunas proceden de la física y la química, otras de la tecnología, etc.

Dejemos de lado el producto escalar y otras ecuaciones diferenciales y sonriamos un poquito. Más allá del cálculo, hay un proverbio chino que dice:

Tres sonrisas al día y adiós a la medicina».

A esto debemos añadirle: «y las buenas notas estarán a la vuelta de la esquina».

La multiplicación exponencial de problemas de matemáticas vendrá de la división de tus errores en la vida real.

Sí, os lo aseguro.

Las paradojas matemáticas fascinan por completo a los enamorados de estas ciencias. Son un tema por lo menos tan fascinante como el número Pi.

No hay nada en el nombre de esta paradoja que no nos sorprenda.

Para entenderla, debemos remitirnos a la fábula de la liebre y la tortuga.

Si la ves venir es porque tus conocimientos te trasladarán hacia las Olimpiadas dirigidas por el Ministerio de Educación y la Real Sociedad Matemática Española.

Volvamos con las tortugas…

Hablamos de un antiguo sabio llamado Zenón de Elea (490-430 a.d.C), discípulo de Parménides, en la que en esta paradoja nos trata de demostrar que el movimiento no existe.

Tras dejar una ventaja de cien metros a una tortuga, gracias a sus conocimientos teóricos, Zenón afirmó que Aquiles jamás la alcanzaría, ya que la tortuga seguiría avanzando para ganar.

Es una idea que probablemente no nos plantearán en Selectividad, pero que no deja de ser verdad.

Por supuesto, Aquiles corre más rápido que la tortuga, pero si le da ventaja a la tortuga, cuando empiece a correr, la tortuga estará ya a cierta distancia (1).

Cuando Aquiles llegue al punto (1), la tortuga habrá avanzado al punto (2) y así sucesivamente...

Aquiles tardará en alcanzar a la tortuga la suma del tiempo que necesite para alcanzar cada punto (1, 2, 3...).

Cifras, números y teoremas... ¡un auténtico rompecabezas!

Seguramente esta afirmación vaya en contra de vuestra lógica, pero hemos tenido que esperar hasta el desarrollo de la matemática moderna para refutarla definitivamente, gracias a la serie, la resolución de la ecuación, la equivalencia gráfica y lo infinitesimal.

El problema es que Zenón piensa que la suma de una serie infinita de números debe ser infinita, (de ahí que según él, Aquiles no conseguirá alcanzar a la tortuga).

Sin embargo, existen series infinitas cuya suma es finita (por ejemplo, la suma de los tiempos de los diferentes puntos).

El enigma del dólar perdido parece seguir el mismo tipo de razonamiento falaz, pero forma parte de los ejercicios de matemáticas que no pasan de moda.

Eso sí, si quieres poner a prueba tu lógica: ¡es lo más!

El cuadrado perdido

No, no se trata de un rompecabezas chino. Se trata de un breve curso de geometría de lo absurdo, una simple formulación matemática verosímil que se basa únicamente en una ilusión óptica y que trae, por lo tanto, una conclusión altamente improbable.

Esta paradoja consiste en reconstruir, sobre un tablero de tangram, un triángulo con otras formas geométricas.

Existen muchas soluciones posibles, una de las cuales hace que falte un pequeño cuadrado en el centro del triángulo.

Sin embargo, es imposible que falte una parte de la superficie, ¿verdad?

Solución

El problema es que la suma de las áreas de las figuras por separadas no es igual que la suma del área completa.

Esta parte que falta no es más que el producto de la ligera deformación del triángulo, con bordes redondeados.

Por tanto, es un falso triangulo que hay que redistribuir.

¡No hace falta ser experto en matemáticas para darse cuenta!

Y si no, gracias a todos los profes de Super prof te podemos ayudar desde pequeño o con las matemáticas secundaria.

Este teorema de geometría pura fue demostrado en 1924, basándose en el axioma de elección de la construcción de conjuntos que no se pueden medir.

Se resume, a grosso modo, de la siguiente manera: podemos dividir una esfera en un número (limitado) de fragmentos, recolocarlos para formar dos bolas idénticas a la original, para lo que solamente hay que mover dos piezas.

«Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de re ensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma.

Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.»

Estarás de acuerdo conmigo en que es un planteamiento, cuanto menos, curioso. Efectivamente, algo así es imposible si estos fragmentos de esfera no se pueden medir (introducir un volumen, por ejemplo, implicaría de facto una contradicción).

La metodología requiere algunas precisiones…

Se trata de una paradoja porque las piezas en las que se divide solo deben rotarse y no alterarse en su forma o volumen, pues las piezas separadas no pueden cambiar su volumen.

No obstante, ahí no queda la cosa: ahora te toca intentarlo tú mism@. ¿No te aclaras? ¡

En 1929, John von Neumann volvió locos a muchos de sus coetáneos.

También partió del axioma de elección para descomponer un cuadrado en un número determinado (limitado) de conjuntos de puntos.

A continuación, gracias a las trasformaciones reducidas que conservaban sus superficies, obtuvo… no dos esferas, sino dos cuadrados.

Albert Einstein, uno de los grandes referentes de las matemáticas.

El problema inferido de esta paradoja permitió a Laczkovich, en el año 2000, explicar esta descomposición del interior de un cuadrado (conjunto delimitado equidescomponible).

Todo un reto para la materia gris!

Les encanta a los profesores de colegio e instituto, ya que les permite explicar ciertas cosas a sus alumnos. in embargo, Beth E.W., gran poeta de la lógica, nos pide que no le demos demasiada importancia a esta antinomia aparente.

Enunciemos la paradoja del barbero:

En un lejano pueblo de un antiguo emirato había un barbero que se llamaba As-Samet, diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día, el emir se dio cuenta de que había pocos barberos en el emirato por lo que ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran afeitarse. De este modo, obligó a todo el mundo a afeitarse.

Cierto día, el emir convocó a As-Samet para que lo afeitara y le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo puesto que soy yo, puesto que si lo hago, yo que puedo afeitarme por mí mismo, estaré incumpliendo la orden.

Sin embargo, si no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, pero como no hay otro barbero, no puedo hacerlo y también os desobedecería.

Entonces el emir pensó que sus reflexiones eran tales que lo tenía que premiar con la mano de sus hijas más virtuosas.

De este modo, el barbero vivió para siempre feliz y barbón.

Es una buena forma de recalcar la posibilidad de que alguien promulgue una norma absurda,

La antinomia de Russel, que aparentemente forma parte de la teoría de los conjuntos (o de las clases) es ligeramente diferente, y se basa en el plano teórico: «En 1905, Bertrand Russel demostró que el enunciado de "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros" era contradictorio».

Desde la secundaria he sido bastante pésimo en matemáticas; perdón si parezco extremadamente estúpido.

Mi amigo y yo estábamos conversando el otro día, durante el cual él me presentó el hecho matemático de que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12.

Me pareció increíble y todavía lo es, pero aparentemente es un hecho.

Mi amigo explicó que tiene algo que ver con el infinito, pero no creo que eso cambie nada. Sigue siendo altamente contraintuitivo; que una fracción negativa sea la respuesta a 1 + 2 + 3 + 4 + 5... = ? es lo más remoto imaginable para aquellos que no saben nada sobre esta identidad.

Otro caso de estos es el (in)famoso 0.9999... = 1. Mi amigo entonces procedió a mostrarme en los términos más simples (le agradezco su paciencia) por qué ambas identidades tendrían sentido matemáticamente y son demostrables matemáticamente, pero eso no ayudó: es lógicamente problemático que él primero presuponga que las matemáticas son correctas y luego use las matemáticas para probar las identidades y declarar que las matemáticas son correctas porque las identidades lo son; es circular.

Ahora bien, en filosofía, tenemos la reductio ad absurdum.

Si obtuviéramos un resultado como este de cualquier otra teoría, sería evidencia inmediata de que esa teoría en particular es problemática.

¿Pueden estas identidades ser evidencia de que las matemáticas son problemáticas

NO SE DEBE SER DÉBIL, SI SE QUIERE SER LIBRE