En la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761) y publicada póstumamente en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio dado en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento dado y la distribución de probabilidad marginal de solo .

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de dado con la probabilidad de dado .

Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.

Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Una de las muchas aplicaciones del teorema de Bayes es la inferencia bayesiana, un enfoque particular de la inferencia estadística.

Cuando se aplican, las probabilidades implicadas en el teorema pueden tener diferentes interpretaciones de probabilidad.

Con la interpretación probabilidad bayesiana, el teorema expresa cómo un grado de creencia, expresado como una probabilidad, debería cambiar racionalmente para tener en cuenta la disponibilidad de pruebas relacionadas.

La inferencia bayesiana es fundamental para la estadística bayesiana, siendo considerada por una autoridad como; "a la teoría de la probabilidad lo que el teorema de Pitágoras es a la geometría.

El teorema de Bayes debe su nombre al reverendo Thomas Bayes ( /beɪz/), también estadístico y filósofo. Bayes utilizó la probabilidad condicional para proporcionar un algoritmo (su Proposición 9) que utiliza la evidencia para calcular los límites de un parámetro desconocido.

Su trabajo se publicó en 1763 con el título Un ensayo para resolver un problema de la doctrina de las probabilidades. Bayes estudió cómo calcular una distribución para el parámetro de probabilidad de una distribución binomial (en terminología moderna).

A la muerte de Bayes, su familia transfirió sus documentos a un amigo, el ministro, filósofo y matemático Richard Price.

Durante dos años, Richard Price editó significativamente el manuscrito inédito, antes de enviárselo a un amigo que lo leyó en voz alta en la Royal Society el 23 de diciembre de 1763

Price editó[5] La obra principal de Bayes "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763), que apareció en Philosophical Transactions, y contiene el teorema de Bayes.

Price escribió una introducción al documento que proporciona algunas de las bases filosóficas de la estadística bayesiana y eligió una de las dos soluciones ofrecidas por Bayes.

En 1765, Price fue elegido miembro de la Royal Society en reconocimiento a su trabajo sobre el legado de Bayes.

El 27 de abril se leyó en la Royal Society, y posteriormente se publicó, una carta enviada a su amigo Benjamin Franklin en la que Price aplica este trabajo a la población y al cálculo de las "pensiones vitalicias

Independientemente de Bayes, Pierre-Simon Laplace en 1774, y más tarde en su Théorie analytique des probabilités de 1812, utilizó la probabilidad condicional para formular la relación de una probabilidad posterior actualizada a partir de una probabilidad previa, dada una evidencia.

Reprodujo y amplió los resultados de Bayes en 1774, aparentemente sin conocer el trabajo de Bayes.

Laplace refinó el teorema de Bayes a lo largo de varias décadas:

· Laplace anunció su descubrimiento independiente del teorema de Bayes en: Laplace (1774) "Mémoire sur la probabilité des causes par les événements", "

· Laplace presentó un refinamiento del teorema de Bayes en: Laplace (leído: 1783 / publicado: 1785) "Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de trés grands nombres", "Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris", 423-467. Reimpreso en: Laplace, "Oeuvres complétes" (París, Francia: Gauthier-Villars et fils, 1844), vol. 10, pp. 295-338.

· Disponible en línea en: Gallica. El teorema de Bayes figura en la página 301.

·

· La interpretación bayesiana de la probabilidad fue desarrollada principalmente por Laplace.[11]

Unos 200 años más tarde, Sir Harold Jeffreys puso el algoritmo de Bayes y la formulación de Laplace sobre una base axiomático, escribiendo en un libro de 1973 que el teorema de Bayes "es a la teoría de la probabilidad lo que el teorema de Pitágoras es a la geometría".

Stephen Stigler utilizó un argumento bayesiano para concluir que el teorema de Bayes fue descubierto por Nicholas Saunderson, un matemático inglés ciego, algún tiempo antes que Bayes; esa interpretación, sin embargo, ha sido discutida.

Martyn Hooper y Sharon McGrayne han argumentado que la contribución de Richard Price fue sustancial:

En términos modernos, deberíamos referirnos a la regla de Bayes-Price.

Price descubrió el trabajo de Bayes, reconoció su importancia, lo corrigió, contribuyó al artículo y le encontró un uso.

La convención moderna de emplear sólo el nombre de Bayes es injusta, pero está tan arraigada que cualquier otra cosa tiene poco sentido.

Teorema

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero para . Si es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales entonces la probabilidad viene dada por la expresión:

donde:

· son las probabilidades a priori,

· es la probabilidad de en la hipótesis ,

· son las probabilidades a posteriori.

Fórmula de Bayes

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Bayes%27_Theorem_2D.svg/250px-Bayes%27_Theorem_2D.svg.pngLa visualización del teorema de Bayes por la superposición de dos árboles de decisión

Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional de cualquiera de los eventos dado .

La fórmula «ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias».[18]

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad.

Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea.

En esencia, los seguidores de la estadística tradicional solo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas.

El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento.

La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.

Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

Como observación, se obtiene la siguiente fórmula y su demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:

1. El diagnóstico de cáncer.

2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh.

3. Probabilidades a priori y a posteriori.

4. Un uso controvertido en la Ley de sucesión de Laplace.

5. En el testeo de hipótesis en Ciencia Política cuando se usa metodología process tracing.

6. Estadística bayesiana.

Uso en genética

En genética, el teorema de Bayes puede utilizarse para calcular la probabilidad de que un individuo tenga un genotipo específico.

Muchas personas buscan aproximar sus posibilidades de estar afectadas por una enfermedad genética o su probabilidad de ser portadoras de un gen recesivo de interés.

Se puede realizar un análisis bayesiano basado en los antecedentes familiares o en las pruebas genéticas, con el fin de predecir si un individuo desarrollará una enfermedad o la transmitirá a sus hijos.

Las pruebas y la predicción genéticas son una práctica habitual entre las parejas que planean tener hijos pero que están preocupadas por la posibilidad de que ambos sean portadores de una enfermedad, especialmente en comunidades con baja varianza genética.

El primer paso del análisis bayesiano para la genética es proponer hipótesis mutuamente excluyentes: para un alelo específico, un individuo es o no es portador.

A continuación, se calculan cuatro probabilidades:

Probabilidad Previa (la probabilidad de cada hipótesis teniendo en cuenta información como los antecedentes familiares o las predicciones basadas en la Herencia Mendeliana), Probabilidad Condicional (de un determinado resultado), Probabilidad Conjunta (producto de las dos primeras) y Probabilidad Posterior (un producto ponderado que se calcula dividiendo la Probabilidad Conjunta de cada hipótesis por la suma de ambas probabilidades conjuntas).

El Teorema de Bayes es uno de los resultados más conocidos y útiles en el área de la probabilidad y estadística, y en particular en el estudio de la probabilidad condicional. Básicamente, el Teorema de Bayes nos dice cómo calcular la probabilidad de un suceso teniendo información a priori sobre dicho suceso.

Este teorema es una herramienta altamente usada por su simpleza y su rápida aplicación en distintas áreas del conocimiento, por ejemplo en medicina, biología, tecnología, negocios, o en cualquier área en la que se necesite tener una certeza sobre algún suceso dada información de antemano. Además, es común utilizar dicha herramienta consecutivamente para obtener una mayor certeza si el problema así lo requiere.

A continuación enunciaremos dicho teorema y resolveremos algunos ejercicios para ilustrar mejor este importante resultado.

Teorema de Bayes: Sean https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/44b38f1be597fe10908e4b80af1a0f9d17820b28.png eventos mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/685fa367e24ff597a852414d6894502603a5a626.png, esto es,

https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/65c4521ef64c8369cbf05ab47b225b0070f87595.png

Si https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/603a117eb523ed47ea9f69213c859f4894795d1d.png es otro evento, entonces

https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/690e544d8d45b582aeb4918442aafecb975af0b2.png

donde

https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/8dfc917e0618bf5d15e17fa04b9d11218ab31bf8.png representa la probabilidad del evento https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/de85b93a668bcb3d88f9717af915d4fd9d725310.png denominada probabilidad a priori,

https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/52b8fc325e6adc5141a89dd9a679cdd12b7360b2.png representa la probabilidad del evento https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/de85b93a668bcb3d88f9717af915d4fd9d725310.png dado el evento https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/603a117eb523ed47ea9f69213c859f4894795d1d.png también conocida como probabilidad a posteriori, y

https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/4121575f75ef92ec0e73bb76be1504a0c8d73bee.png es la probabilidad total del evento https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/471378697ad82ddc0d6661af10429b5d2e971d5c.png La ecuación (1) es conocida como la fórmula de Bayes.

Ejemplos resueltos del Teorema de Bayes

1

Se tienen dos cajas, la primera contiene 3 bolas rojas y 2 azules mientras que la segunda contiene 2 rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la primera caja y si se obtiene sello se saca una bola de la segunda. Si se sabe que la bola obtenida es azul, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera caja?

2

Utilizando los mismos datos del ejercicio anterior, si se sabe que la bola obtenida es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la segunda caja?

3

Se tienen dos cajas, la primera contiene 3 bolas rojas y 2 azules mientras que la segunda contiene 2 rojas y 8 azules. Se lanza un dado, si se obtiene 1 ó 2 se saca una bola de la primera caja y si se obtiene 3, 4, 5 ó 6 se saca una bola de la segunda. Si se sabe que la bola obtenida es azul, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera caja?

4

En cierto colegio el 12% de los alumnos utilizan IA para realizar sus trabajos escolares. Un profesor utiliza un detector de uso de IA que acierta el 90% cuando el trabajo fue hecho con IA y que falla un 5% cuando el trabajo no fue realizado con IA. Si el profesor recibe el resultado de que el trabajo fue realizado con IA, ¿cuál es la probabilidad de estar equivocado?

5

En un restaurante de comida rápida el 30% de los clientes es infantil. Se tienen dos combos a la venta, siendo el combo 1 elegido un 60% por los niños y un 20% por los adultos. Si la orden entregada es un combo 2, ¿cuál es la probabilidad de que el pedido sea para un niño?

6

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/032263cff4411ef132af237c167790bc711df8aa.png. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/33ebf7891468dd0a98c16c7c9322df87eba9ad15.png y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/733ddbd506efe552bfe9c53f752993cefb1a8a6b.png. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

7 Un análisis de sangre de laboratorio tiene una eficacia del https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/785e8e41a7e2666b7d289024b281a1d76bc0796b.png para detectar una determinada enfermedad cuando, de hecho, está presente. Sin embargo, la prueba también arroja un resultado "falso positivo" para el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/743d95ec87ce9afa6537393646f49a315f912a9c.png de las personas sanas analizadas. (Es decir, si se hace la prueba a una persona sana, entonces, con una probabilidad de https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/76390c966fbc12458b98c37301f6a93e878ee93b.png el resultado de la prueba implicará que tiene la enfermedad). Si el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/8f196c69aaac7342afc0a983f37108d1a1a80631.png de la población en realidad tiene la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tiene la enfermedad dado que el resultado de la prueba es positivo?

8

En una cierta etapa de una investigación criminal, el inspector a cargo está convencido en un https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/9418b1b22b4326f0461bc32a4d6b20e28a22f387.png de la culpabilidad de cierto sospechoso. Supongamos, sin embargo, que se descubre una nueva prueba que muestra que el delincuente tiene una determinada característica. Si el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/a09148ba988df5e97f3d1893b4cd5ea20e25a2e6.png de la población posee esta característica, ¿qué tan seguro debe estar el inspector de la culpabilidad del sospechoso ahora si resulta que el sospechoso tiene esta característica?

Una fábrica de clavos dispone de https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/a5090214fb949114bd16e4b7f944d193ec772008.png máquinas que elaboran el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/56130de28242d8ceb8b8e8ca2e4e07eb079675e1.png y https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/ad8aa024500f0e16067404452c7ef5f8cffe42b1.png de los clavos que producen. El porcentaje de clavos defectuosos de cada máquina es del https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/f20d4cdb08cf5a5568400be9e5fdd7efd952fcf7.png y https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/9b335002bfa5541a9cb1c1434db8dffc701ab823.png, respectivamente. Si se selecciona al azar un clavo de la producción y este fue defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/897aaa8c9989daf6f520cbb6ea5260730c0aa725.png?

El https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/a09148ba988df5e97f3d1893b4cd5ea20e25a2e6.png de los empleados de una empresa son ingenieros y otro https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/a09148ba988df5e97f3d1893b4cd5ea20e25a2e6.png son economistas. El https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/08714d2baff8d5f2053632fad944ce55f2d0cdac.png de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/78e040f830e7a8f41e5b3ff6a69d83f62e466d53.png de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el https://cdn-blog.superprof.com/blog_all/wp-content/uploads/latex/a09148ba988df5e97f3d1893b4cd5ea20e25a2e6.png ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero

No se debe ser débil, si se quiere ser libre