""Volumen finito pero superficie infinita""

Vamos a hablar de una figura matemática muy curiosa: La Trompeta de Gabriel.

El Cuerno o Trompeta de Gabriel

La Trompeta de Gabriel (también llamada trompeta de Torricelli, en honor al físico y matemático Evangelista Torricelli, quien la ideó) es una figura geométrica de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X la función f(x)=1x desde x=1 a ∞

Función 1/x

Revolución de la función

Generación de superficie hasta el infinito

El nombre de Gabriel hace referencia a dicho arcángel, el cual toca la trompeta que anuncia el Día del Juicio Final, asociando de este modo lo infinito con lo finito.

Para calcular el área y el volumen de esta figura geométrica vamos a emplear como es lógico las integrales.

Antes de poder integrar necesitamos dos cosas:

Una función y un recinto de integración. Primero hallamos una parametrización en coordenadas polares para la región x,y,z (En polares, al ser de revolución es más cómodo).

Tenemos: ⎧⎩⎨⎪⎪x=xy=r⋅cos(θ)z=r⋅sin(θ)1≤x≤∞0≤r≤1x0≤θ≤2π

Siendo el jacobiano r:

∣∣∣∣∣∣∂x∂x∂x∂r∂x∂θ∂y∂x∂y∂r∂y∂θ∂z∂x∂z∂r∂z∂θ∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣1000cos(θ)−r∗sen(θ)0sen(θ)r∗cos(θ)∣∣∣∣∣ = r

En Wikipedia, Wolfram, Brilliant… emplean el principio de Cavalieri para el cálculo del volumen y la superficie en una variable (Que, de hecho, fue el método que Torricelli empleó)..

Sin embargo, he decidido emplear esta parametrización y el uso de integrales dobles y triples ya que son mucho más intuitivas y requieren menos fórmulas.

Cálculo de la superficie

Cuando queremos integrar en una superficie necesitamos 2 variables. Como sabréis, si lo que queremos es calcular las dimensiones de una región la cual es mismamente nuestra región de integración el integrando o función a integrar es 1 (Multiplicado por el jacobiano)

Nuestras variables son θ y x ya que en el caso de la superficie nuestra r está fijo como r=1x en todo momento.

S=∫∞1∫2π0rdθdx=∫∞1∫2π01xdθdx= =2π∫∞11xdx=2π∗[ln(∞)−ln(1)]=2πln(∞)=∞

Observamos que obtenemos una integral impropia que genera un valor infinito para la superficie.

Cálculo del volumen

Cuando queremos integrar un volumen necesitamos 3 variables. Al igual que en el caso anterior, como lo que queremos integrar es nuestra propia región de integración, el jacobiano es el único integrando.

Nuestras variables son θ , x y r, ya que en este caso r va a ir variando entre 0 y 1x para rellenar el volumen.

V=∫∞1∫1x0∫2π0rdθdrdx=2π∫∞1∫1x0rdrdx= =2π∫∞1121x2dx=π∗−[1x]∞1=π∗[1−1∞]=π

Conclusiones

Descubrimos que el valor de la superficie es infinito mientras que el valor del volumen es finito y es ni más ni menos que el recurrente número pi.

La explicación que se da a este fenómeno o paradoja es el caso de querer pintar la trompeta.

Si intentamos pintar la superficie exterior con una capa de pintura uniforme no acabaríamos nunca porque la superficie, como hemos demostrado, es infinita.

No obstante, si intentamos pintar la superficie interior llegaría un momento en el que el hueco entre superficies es tan pequeño que prácticamente sería imposible pintarlas por dentro ya que se solaparían.

De esta forma, si colocásemos verticalmente la trompeta y la llenásemos de pintura llegaría un momento en que comenzaría a rebosar la pintura debido a que hemos llenado su volumen.

No se filtraría más pintura ya que, como hemos dicho antes, la distancia teórica entre superficies internas sería menor que el tamaño de las moléculas de pintura.

Esta es la magia del infinito.

Por si lo estáis pensando:

Está demostrado matemáticamente que no existe ninguna figura con área finita pero volumen infinito.

Vaya, me he quedado con un artículo menos

En matemáticas, la trompeta de Gabriel se refiere a una figura geométrica particular que tiene área superficial infinita pero volumen finito, y se obtiene al rotar 1/x alrededor del eje x.

Estaba pensando en hacer un proyecto de matemáticas de secundaria sobre dicha forma ya que la paradoja despertó mi interés, pero su exploración se considera demasiado elemental para los estándares escolares.

Así que, aparte de explorar y probar la "paradoja" y generalizarla para 1/xp donde p pertenece al intervalo (1/2 , 1], ¿qué más podría hacer para aumentar la complejidad del proyecto? ¿Alguna otra forma similar o aspecto de la mencionada que podría explorar?·9

NO SE DEBE SER DÉBIL, SISE QUIERE SER LIBRE