Una pregunta a Freddy Bernal, nuestro Fibonacci tropical

I. Leonardo de Pisa (hacia 1180-1250)

También llamado Fibonacci (hijo de Bonaccio), nació en Pisa, gran centro comercial, donde su padre realizaba tareas relacionadas con el comercio. Debido a estas actividades comerciales, su padre se ve obligado a viajar por el Sur de Italia, Grecia y norte de África. Hacia 1192, en una de sus estancias en el extranjero, llama Bonaccio a Leonardo para que le acompañe en sus viajes. Contrata como profesor de su hijo a un maestro árabe que le inicia en los métodos indios de cálculo. Esto despierta en Leonardo la pasión por las matemáticas, pudiendo entonces comparar la forma habitual de calcular las gentes de su tiempo, con la ayuda del ábaco, y la nueva forma transmitida por Al-Jwarizmi de las nueve cifras y el cero. Su talento como matemático se extendió por la corte, siendo invitado por el emperador Federico II a participar en un torneo organizado por el emperador. Leonardo resolvió con éxito todos los problemas que le planteó Juan de Palermo, filósofo de la corte. Publicó varios libros, siendo el más famoso el Liber abaci, compuesto en 1202, poco después de volver a su ciudad natal. En realidad, el contenido del libro no tiene nada que ver con el ábaco, pues en él se resuelven problemas haciendo uso de los números indoarábigos y se tratan diversos métodos algebraicos.

En el Liber Abaci se encuentra el famoso "Problema de los conejos". Si tienes conejos, experimentarás un extraño enigma natural y matemático que resulta tan sorprendente como inexplicable:

"Cada pareja de conejos al mes tiene una nueva pareja de bebés, la cual no tendrá conejos hasta que sea adulta, lo que ocurre a los dos meses de nacer. Empezando con una pareja de bebés, cuántas parejas de conejos obtendremos después de un número dado de meses "

En otras palabras

"¿Cuántas parejas de conejos obtendremos al cabo de un año, si, empezando con una pareja, cada pareja produce otra cada mes, que puede reproducirse al segundo mes de existencia?"

Si se van contabilizando las parejas acumuladas en cada mes, se obtiene la llamada "sucesión de Fibonacci", que inspiró a la mayoría de los matemáticos de la época, esto es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Esta sucesión, caracterizada porque cada término es suma de los dos anteriores, tiene numerosas propiedades, por ejemplo, dos términos consecutivos son primos entre sí, el cuadrado de un término excede en una unidad al producto del anterior y el posterior, etc.

II. La Reproducción de los Conejos

Como dijimos arriba si tienes conejos, experimentarás un extraño enigma natural y matemático que resulta tan sorprendente como inexplicable. Fibonacci era el alter ego de Leonardo de Pisa, un matemático italiano del siglo XIII que descubrió una secuencia que se repite mucho en el mundo real. Se trata de 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…. y así sucesivamente. Lo que hacemos es sumar dos números para obtener un tercero que ponemos al final de la lista, y luego sumar estos números resultantes, y así sucesivamente, de manera que la continuación de la lista previamente escrita sería 21, 33, 54, 87…..

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".

»»En efecto, si tenemos dos conejos, tendremos luego tres a partir de la procreación. Pero lo curioso es que luego no tendríamos cuatro sino cinco conejos, y luego directamente ocho, ya que se reproducen con suma precisión en esa escala. Esta secuencia de Fibonacci se ha encontrado en todas partes, desde los pétalos de las plantas a las construcciones griegas, y si estás pensando en criar conejos, también la podrás ver allí.

Pensémoslo mes a mes:

Al empezar hay 1 pareja de conejos bebés... a 1 =1

Al cabo de 1 mes, hay 1 pareja adulta que tendrá bebés al mes siguiente... a 2 =1

Al cabo de 2 meses, hay 1 pareja adulta y 1 de bebés; en total, 2 parejas... a 3 =2

Al cabo de 3 meses, hay 2 parejas adultas y 1 de bebés; en total, 3 parejas...a 4 =3

Al cabo de 4 meses, hay 3 parejas adultas y 2 de bebés; en total, 5 parejas... a 5 =5

Al cabo de 5 meses, hay 5 parejas adultas y 3 de bebés; en total, 5 parejas... a 6 =8

... y así sucesivamente.

III. Pregunta a Freddy Bernal

♦♦♦ ¿Al cabo de cuántos meses habrá 4181 parejas de conejos?



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Luis Antonio Azócar Bates

Matemático y filósofo

 medida713@gmail.com

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