La fórmula de Euler (relación entre la función exponencial y las funciones trigonométricas)

La fórmula de Euler es la base para poder evaluar la función exponencial en cualquier número complejo.

Dicha fórmula nos dice que la exponencial de un complejo imaginario puro es un número complejo cuyas partes real e imaginaria están dadas respectivamente por las funciones trigonométricas coseno y seno. Concretamente la fórmula de Euler establece que para cualquier número real θ, e iθ = cos θ + i sen θ.

Usando esta fórmula y las leyes de los exponentes se calcula fácilmente la exponencial de cualquier número complejo z = x + yi: e z = e x+yi = e x e yi = e x (cos y + i sen y)

La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula: e x = ∞ ∑ n=0 x n n! = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + · · · (1)

Esta fórmula es la serie de Taylor de la función exponencial y se explica y se demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal.

Aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y como motivación.

En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarise con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme ayuda en muchas otras asignaturas.

De la función exponencial a la fórmula de Euler Si en la serie de Taylor (1) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro, x = iθ, entonces, debido a que i n = ±1 para n par e i n = ±i para n impar, todos los términos de grado par en x son números reales y los de grado impar, imaginarios.

En consecuencia la serie se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una todos cuyos términos son reales y la otra todos cuyos términos son imaginarios: e iθ = ∞ ∑ n=0 (iθ) n n! = 1 + 1 2 (iθ) 2 + · · · + iθ + 1 6 (iθ) 3 + · · · = 1 − 1 2 θ 2 + · · · + i θ − 1 6 θ 3 + · · · = a + b i. 1 Versión de 20 de marzo de 2017, 1:3 Así obtenemos dos series de números reales que definen sendos números a = 1 − 1 2 θ 2 + · · · y b = θ − 1 6 θ 3 + · · · , los cuales son, por tanto, las partes real e imaginaria de e iθ .

Se demuestra en los cursos de Cálculo que la serie de a es la serie de Taylor de la función coseno y que la de b es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que las partes real e imaginaria de e iθ son a = cos θ y b = sen θ; es decir, se llega a la fórmula de Euler: e iθ = cos θ + i sen θ. Esta fórmula tiene una enorme importancia en las aplicaciones de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i 2 = −1 y en las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor. Deducciones elementales de la fórmula de Euler Primera: Consideremos la función f(t) = cos t + i sen t. (2) Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial.

Aplicando a f(t) las reglas del cálculo de derivadas: f 0 (t) = − sen t + i cos t = i 2 sen t + i cos t = i(i sen t + cos t) = i f(t). (3) Esto significa que la función f(t) tiene las propiedades f(0) = 1 , f 0 (t) f(t) = i, de donde, integrando de 0 a θ, Z θ 0 f 0 (t) f(t) dt = Z θ 0 i dt , [ln f(t)] θ 0 = i[t] θ 0 , ln f(θ) = iθ , f(θ) = e iθ , es decir: e iθ = cos θ + i sen θ. Segunda: La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación. Consideremos la función f(t) = cos t + i sen t e it . (4) Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero.

Aplicando a f(t) las reglas del cálculo de derivadas: f 0 (t) = (− sen t + i cos t)e it − (cos t + i sen t)ieit e ite it = − sen t + i cos t − (i cos t − sen t) e it = − sen t + i cos t − i cos t + sen t e it = 0. (5) Puesto que f(t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero f(0) = cos 0+i sen 0 e i0 = 1+i·0 1 = 1, luego f(t) = 1 para todo t, o sea: cos t + i sen t e it = 1. (6) que es equivalente a la fórmula de Euler.

: La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad p(z) = p(z) (7) del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial: e z = e z .

No vamos a demostrar la propiedad para todas las funciones analíticas, pero sí queremos remarcar que la demostración de (8) a partir de la fórmula (1) que define a la función exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (7) de los polinomios. Suponiendo conocida la ecuación (8), se deduce que para todo número complejo de la forma e iθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según zz = |z| 2 , e iθ tiene módulo igual a 1: e iθ = e iθ = e −iθ por tanto: |e iθ | = 1.

En consecuencia, existe una función α(θ) tal que α(0) = 0 y e iθ = cos α(θ) + i sen α(θ).

Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e igual a 1.

Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ) = θ y por tanto e iθ = cos θ + i sen θ. Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la Universidad de Santiago de Compostela en 2012. 1 Ejercicio de tarea. Demuestra que la derivada de la función f(θ) = cos α(θ) + i sen α(θ) es: f 0 (θ) = α 0 (θ) − sen α(θ) + i cos α(θ) y que el paréntesis que multiplica a α 0 (θ) es igual a la derivada de e iθ respecto a θ.

Una identidad famosa Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = −1 y sen π = 0. Entonces se obtiene: e πi = −1 , que se puede reescribir como: e πi + 1 = 0.

Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar, multiplicar y elevar a una potencia). 2 Ejercicio de tarea. Deducir la ecuación (8) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro. 3 Ejercicio de tarea. Evalúa la función exponencial, e z , en los siguientes números complejos: (a) z = π 3 i , (b) z = ln 2 + π 4 i Solución: (a) 1 +2 √ 3 2 , (b) i √ .)i +1(2 Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección

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