De un análisis de M. Zapata-Herrera1, J. Flórez, A. S. Camacho and H. Y. Ramírez
Visualización de una simulación FEM de la deformación de un coche tras un choque frontal asimétrico
Solución de MEF en 2D para una configuración de un magne tostato.
Las líneas muestran la dirección de la densidad de flujo calculada, y el color, su magnitud
.La malla 2D para la imagen superior (la malla es más densa alrededor de nuestro objetivo, aquellas zonas de mayor interés, o de mayor complejidad en el cálculo)
El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy complejas utilizado en diversos problemas de ingeniería física.
El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver, de forma aproximada, ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico o ingenieril sobre geometrías complicadas.
El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos.
La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito básico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolución temporal del problema sean conocidas de antemano.
El MEF permite obtener una solución numérica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que están definidas ciertas ecuaciones iferenciales en forma débil o integral que caracterizan el comportamiento físico del problema dividiéndolo en un número elevado de subdominios no-inter sectantes entre sí denominados «elementos finitos».
El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada dis cretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados «nodos».
Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos.
El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».
Los cálculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de base para dis cretización del dominio en elementos finitos.
La generación de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina pre proceso.
De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad.
El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas).
La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema.
El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos.
Típicamente el análisis de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecánica de sólidos deformables o más generalmente un problema de mecánica de medios continuos.
El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones).
Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (mecánica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagnético.
Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.
Además del amplio rango de problemas clásicos que pueden ser eficientemente trabajados con este método, recientemente también se ha utilizado para resolver EDPs tipo Schrödinger, y ha permitido simular exitosamente efectos cuánticos en sistemas de baja dimensionalidad tales como nano partículas metálicas, nanotubos de carbono,[ puntos cuánticos, pozos cuánticos, moléculas artificiales, y mono capas de calco genuros con metales de transición.
Una importante propiedad del método es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones.
El MEF fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz de análisis numérico y minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración.
Poco después, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico
El documento se centró en «la rigidez y deformación de estructuras complejas».
Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el cálculo matricial de estructuras.
Éste parte de la dis cretización de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos.
Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura.
Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:
Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez .
Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras.
La solución obtenida es bastante precisa si se cumplen las hipótesis implícitas en la formulación.
Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de cómputo en la década de 1950, el cálculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantes consistían en método iterativos (métodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos.
El cálculo de una estructura de edificación de varios pisos, por ejemplo, podía llevar varias semanas, lo cual suponía un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura.
La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dado que al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.
Cuando las aplicaciones prácticas de elementos finitos crecieron en tamaño, los requerimientos de tiempo de cálculo y memoria de los ordenadores creció. En ese punto el desarrollo de algoritmos más eficientes se volvió importante.
Para la resolución de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc.).
El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del método matricial se extiende.
Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificación donde la discretización de los pórticos en barras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.
Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volúmenes) y con geometrías complejas.
De ahí que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF.
Dada su generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducción de calor, la mecánica de fluidos, etc., donde compitió con otros métodos numéricos como el de método de las diferencias finitas que aun siendo más intuitivos, tenían de nuevo dificultades de planteamiento para geometrías complejas.
Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los centros universitarios.
En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión del método a otros problemas como los no lineales.
En esta década, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente poseído por las industrias aeronáuticas, de automoción, de defensa y nucleares.
Se estudian nuevos tipos de elementos y se sientan las bases matemáticas rigurosas del método, que había aparecido antes más como técnica de la ingeniería que como método numérico de la matemática.
Estructura generada por FEM para el análisis de tensiones de la cabeza de un pistón de un motor de combustión interna alternativo
Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurándose el uso de pre y post procesadores gráficos que realizan el mallado y la representación gráfica de los resultados.
Se continúa en el estudio de la aplicación del método a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo, etc.) y en el análisis de los errores.
En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el método matricial, siendo muchos los programas que mezclan el análisis por ambos métodos, debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el análisis por elementos finitos.
Así se ha dejado la aplicación del MEF para el análisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los pórticos siguen todavía dis cretizándose en barras y utilizando el método matricial.
Y desde el rápido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de cálculo, el MEF ha desarrollado una increíble precisión.
Al día de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados bastante precisos para todo tipo de parámetros.
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:
1. El problema debe reformularse en forma variacional.
2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial) debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos.
3. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial.
4. Se obtiene la proyección del problema varia cional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición.
5. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas.
6. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.
7. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal.
Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un sub espacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles).
La dis cretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos.
Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.
En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.
La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un
Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia y una colección de funciones biyectivas:
Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente también dominio isoparamétrico.
En los análisis 2D (d = 2) el dominio de referencia se suele tomar como un triángulo equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis 3D (d = 3), el dominio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro.
Además sobre cada elemento se considerarán algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirán los vértices del elemento finito y se requerirá la condición adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto , es decir:
Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensión finita, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema varia cional.
El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio de dimensión no-finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho espacio.
El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, así que en la práctica se considerará un sub espacio de dimensión finita del espacio vectorial original .
es el proyector ortogonal del espacio original sobre el sub espacio vectorial asociado a la dis cretiación.
Si la dis cretización es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará razonablemente bien la solución original.
Eso implicará en general considerar un número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyección de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceá, que en esencia afirma que la solución exacta y la solución aproximada satisfacen:
Es decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el sub espacio vectorial asociado a la dis cretización en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original .
Funciones de forma y espacio de la solución
Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la solución exacta del problema. Desde un punto de vista práctico resulta útil definir un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado:
Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial que servirá para aproximar la solución
Cuando es una función lineal y el espacio está formado por polinomios entonces la restricción es también un polinomio.
El espacio vectorial es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por funciones de forma ,
Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema:
Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:
Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier función definida sobre el dominio original mediante el proyector :
)
Fijada una base asociada a una determinada dis cretización del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones la forma débil del problema (, cuando la función es bilineal) puede escribirse como una ecuación matricial simple:
Donde N es el número de nodos.
Agrupando los términos y teniendo en cuenta que v^h es arbitrario y que, por tanto, la ecuación anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario,:
Este es la forma común del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuación diferencial lineal, no dependiente del tiempo.
Esta última forma es precisamente la forma (*) de la reseña histórica.
Para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el número de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria.
En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolución numérica son:
1. El cálculo de la matriz de coeficientes , esto generalmente requiere integración numérica aproximada lo cual es una nueva fuente de errores en el cálculo por el MEF.
2. El uso de un método eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo, el método de Cramer es totalmente impracticable para , un ordenador de unos 10 GFlops tardaría más de 2 años en resolver el sistema por dicho método, mientras que si se usa el método de eliminación gaussiana tardaría menos de una diez milésima de segundo.
Para entender la necesidad de la integración numérica necesitamos ver qué forma tiene típicamente la forma débil del problema, expresada en términos de los subdominios o elementos finitos.
Esa forma débil involucra integrales que , representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparamétrico que da la forma de los elementos finitos.
, representan la función que debe integrarse y su expresión sobre el dominio iso paramétrico.
, la aplicación que relaciona el dominio iso paramétrico con cada elemento finito.
, son los pesos y los puntos de integración usados para integración gaussiana.
, son el número total de elementos y el número de puntos de integración por elemento.
De acuerdo con el lema de Ceá (LC) el error cometido en la aproximación de una solución exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximación, es decir, la solución obtenida mediante el MEF es, tanto más buena cuanto mejor sea la aproximación .
Dado que el error de aproximación depende crucialmente del tamaño de los elementos, cuanto mayor sea su número a igualdad de otros factores tanto menor será el error de aproximación.
A continuación acotamos este error de aproximación que acotará el error de la solución de elementos finitos.
Para ello necesitamos definir el diámetro de cada subdominio o elemento finito:
h es una medida de la finura de la discretización es el máximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que el error de aproximación (y por tanto el error de la solución mediante elementos finitos)
que, son respectivamente la solución exacta y la solución obtenida mediante elementos finitos.
, es un número real que depende de la forma del dominio, entre otros factores.
, es el k+1-ésimo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio .
, NO SE DEBE SER DÉBIL, SI SE QUIERE SER LIBRE