Teorema Banash-Tarki
Antonio Daza D 31 12 2025
La Paradoja de Banach-Tarski es uno de los resultados más sorprendentes en Matemáticas. En términos sencillos, afirma que se puede romper una bola maciza en trozos, girar o ´ trasladar cada uno de los trozos y, con las nuevas piezas, formar dos bolas idénticas a la ´ primera.
La paradoja también tiene una versión fuerte, la cual afirma que una esfera del ta- ´ mano de un guisante puede romperse en trozos y, aplicando isometrías a cada uno de ellos, obtener otra esfera del tamaño del sol. ˜
Teorema 1.1. (Teorema de Banach-Tarski) Sea B una bola en R 3 .
Existe una partición de ´ B en conjuntos A1, . . . , An, B1, . . . , Bm ⊂ B, e isometr´ıas σ1, . . . , σn, τ1, . . . , τn de R 3 de modo que [n i=1 σi(Ai) = B = [m j=1 τj (Bj )
Teorema 1.2.
(Teorema de Banach-Tarski, version fuerte ´ ) Sean A, B dos bolas en R 3 .
Existe una partición de ´ A en conjuntos A1, . . . , An, e isometrías σ1, . . . , σn de R 3 tales que B = [n i=1 σi(Ai)
Estos resultados son contrarios a nuestra intuición: físicamente, van en contra del Principio de conservación de la masa.
El que un conjunto pueda ser congruente a un sub conjunto propio suyo puede parece inusual.
Lo que subyace detrás de la paradoja es el uso de conjuntos infinitos. Nuestra intuición´ se basa en el mundo finito, y por lo tanto el concepto del infinito ha producido, desde hace milenios, paradojas y resultados en contra de nuestro sentido común, siendo un tema deli cado.
Los primeros en estudiar la idea de infinito fueron los griegos con, por ejemplo, las paradojas de Zenón.
Ante este tipo de resultados, los griegos optan por aceptar la existencia ´ del infinito, pero lo evitan en la medida de lo posible.
Mucho más tarde, en 1638, Galileo ´ planta el germen de lo que será el estudio del infinito: el emparejamiento de elementos ´ de dos conjuntos para estudiar cual de ellos es "m ´ as grande".
En torno a 1870, siguiendo ´ esta idea, Cantor empareja el conjunto de naturales con el de enteros, y mas tarde con el ´ de racionales.
Además, se da cuenta de que estos conjuntos no podían emparejarse con los puntos de un segmento, o con los de una recta.
Con esto, demuestra la existencia de distintos tipos de infinito y, algunos anos más tarde, encuentra una forma de generar infinitos ´ cada vez más grandes, mediante los conjuntos potencia.
Las ideas de Cantor conducían en algunos casos a paradojas, y fueron criticadas por gran parte de la comunidad matemática. ´ Durante esta misma época, la Matemática vive un período convulso: se están intentando fundamentar las bases lógicas de la Matemática.
Las ideas de Cantor darán lugar a la ´ corriente que, a día de hoy, es mayoritaria: la Teoría de Conjuntos.
Esta consiste en un sistema formal de 8 a 10 axiomas (dependiendo de la formulación), realizado por E. Zermelo ´ en 1908, con contribuciones de A. Frankel en 1922, y refinada por Von Neumann en 1925. ¨
Estos axiomas son razonables, y habían sido utilizados implícitamente en trabajos previos. Zermelo unicamente formalizó la teoría.
Esta axiomatización solventaba algunas paradojas ´ y dificultades de la teoría de los infinitos de Cantor.
No obstante, uno de estos axiomas genera gran polémica: el Axioma de Elección (AC). ´ Todos los demás axiomas de Zermelo permiten conocer cuales son los elementos de un ´ conjunto al construirlo.
El Axioma de Elección afirma que, dada una familia arbitraria de ´ conjuntos, existe un conjunto que contiene a un elemento de cada uno de ellos.
Ahora bien, no especifica cuales, y por lo tanto no podemos saber exactamente cúales son los elementos ´ del conjunto en cuestión.
Este axioma conduce a resultados muy ´ útiles, tales como el Teo- ´ rema de Hahn-Banach, herramienta básica del Análisis Funcional.
Sin embargo, también ´ lleva a resultados contra intuitivos, y por lo tanto muchos matemáticos prefieren evitarlo. ´ Uno de estos resultados será la existencia de conjuntos no medibles. ´
En 1901, H. Lebesgue, en un intento de generalizar la integral de Riemann a un número ´ mayor de funciones, introduce la Medida de Lebesgue, una generalizacion de la idea de ´ 2 longitud a todos los subconjuntos de la recta real. Ahora bien, en 1905, G. Vitali encuentra, utilizando el Axioma de Elección, un conjunto al cual no puede ser asignada una medida. ´
Esta construcción es muy criticada por el uso que hace de AC.
Casi diez a ´ nos m ˜ as tarde, ´ en 1914, Hausdorff utiliza la existencia de conjuntos no medibles para probar un resultado aparentemente paradójico: ´ Teorema 1.3. (Hausdorff) Existe una partición de la esfera unidad ´ S 2 ⊂ R 3 en conjuntos A, B, C, D, de modo que D es numerable, y existen isometrías σ, τ de R 3 de forma que σ(A) = B ∪ C, τ (A) = B, τ 2 (A) = C. En este sentido, D es un conjunto relativamente pequeño en ˜ S 2 , y, como A, B, C son congruentes, cada uno de ellos representa casi un tercio de la esfera.
Al mismo tiempo, como A es congruente con B ∪ C, A también representa casi dos tercios de la esfera.
Esta construcción puede usarse para generar dos copias de ´ S 2 D a partir de una.
También´ Hausdorff recibe críticas por su resultado.
Borel escribe La contradicción tiene su origen ´ en la aplicación del Axioma de Elección de Zermelo. Cuando uno desprecia la precisión y ´ la lógica, llega a contradicciones
Partiendo de este resultado, Banach y Tarski, ambos polacos, encuentran independientemente, en 1924, una forma de extender la paradoja de Hausdorff a toda la esfera, y tras esto, a toda la bola unidad.
Además, prueban que el mismo resultado no es posible en di- ´ mensiones 1 y 2. Publican su artículo Sur la decompositión des ensembles de points en ´ parties respectivement congruentes en una famosa revista polaca, Fundamenta Mathematicae.
El que la paradoja pudiera anunciarse en términos sencillos hizo que el teorema llegara ´ a una gran cantidad de gente y llamara mucho la atención de la comunidad matemática.
El teorema fue una vez más, controvertido y criticado por el uso que hacía del Axioma de Elección. Lo interesante es que Banach y Tarski también necesitan del Axioma de Elección para demostrar que la paradoja no es cierta en dimensiones inferiores a ´ 3, y por lo tanto su rechazo también deduciría resultados de alguna forma contra intuítivos.
La discusión con el Axioma de Elección tarda muchos más en resolverse. Godel ¨ demuestra en 1940 que AC es consistente con los demas axiomas de Zermelo-Fr ´ ankel (ZF), ¨ es decir, no contradice ninguno de estos.
En 1963, Cohen prueba que la negación de AC es ´ también consistente con ZF.
De este modo, AC es indecidible dentro de ZF. ´ Además del papel que juega la Paradoja de Banach-Tarski en matemáticas fundamenta les, y las ideas que plantea en torno al Axioma de Elección, la paradoja ha sido fructífera en la investigación matemática.
Ha dado lugar a conceptos que desarrollar ´ ´ıan nuevas áreas de ´ 3 1. INTRODUCCION´ estudio, como la promediabilidad de grupos.
Al´día de hoy, estos grupos se siguen estudiando y aplicando en diversas áreas de la matemática por sus buenas propiedades. Las ideas ´ tras la paradoja de Banach-Tarski pueden utilizarse también para demostrar la unicidad de ´ la medida de Lebesgue, y la cuadratura del c´ırculo.
A lo largo del siglo XX, las descomposiciones paradójicas han seguido siendo estudiadas de distintas formas.
Además de los resultados que se incluyen en este trabajo, cabe ´ mencionar que es posible obtener, a partir de una esfera, una familia de esferas con el cardinal del continuo.
También, existen paradojas aná ´ a
logas que utilizan conjuntos algo
más´ tratables (conjuntos de Baire), y paradojas en las que el movimiento de las piezas no permite que choquen unas con otras. Muchas veces se ha planteado a que nivel la paradoja es cierta en el mundo físico.
Por supuesto, es imposible llegar a un nivel de precisión en el que podamos rotar piezas ´ de forma exacta, o construir el tipo de conjuntos que utiliza la paradoja. No obstante, en 1995 se publicó un artículo ([10]) en el que se plantea un modelo físico en el que algunas partículas podrían comportarse de forma similar a las piezas del Teorema de Banach-Tarski.
En este trabajo desarrollamos algunos temas relacionados con la paradoja, siguiendo como base el libro de S. Wagon [19], el cual recoge la gran mayoría de información que ´ existe sobre este tema.
Tras esto, dado que una paradoja usando isometrías no es cierta en dimensión 1 y 2, se utilizan las ideas de Von Neumann para obtener paradojas un poco más
débiles en estos espacios. ´
Se introducen los grupos pro mediables y se demuestra que la paradoja no es cierta en dimensiones 1 y 2. 4
NO SE DEBE SER DÉBIL, SI SE QUIERE SER LIBRE